无线信道：传播和衰落

无线信道的传播与衰落特性

在无线通信系统中，信号在传播过程中会经历各种衰落现象，主要分为大尺度衰落和小尺度衰落两种类型。这两种衰落机制对无线通信系统的性能有着重要影响。

1. 大尺度衰落（Large-Scale Fading）

大尺度衰落主要描述信号功率随传输距离变化的平均衰减特性，通常由路径损耗和阴影效应组成。

1.1 路径损耗（Path Loss）

路径损耗表示信号在空间传播过程中功率的衰减。

• 自由空间路径损耗模型：
  $$L_{FS}(d) = \left(\frac{4\pi d}{\lambda}\right)^2 = \left(\frac{4\pi fd}{c}\right)^2$$

  其中：

  • $d$ 是发射机与接收机之间的距离
  • $\lambda$ 是波长
  • $f$ 是频率
  • $c$ 是光速

• 对数距离路径损耗模型：
  $$PL(d) = PL(d_0) + 10n\log_{10}\left(\frac{d}{d_0}\right) + X_\sigma$$

  其中：

  • $PL(d_0)$ 是参考距离 $d_0$ 处的路径损耗
  • $n$ 是路径损耗指数，取决于环境特性
  • $X_\sigma$ 是均值为零、标准差为 $\sigma$ 的高斯随机变量，表示阴影衰落

1.2 阴影效应（Shadowing）

阴影效应是由于信号传播路径上的大型障碍物（如建筑物、山丘等）引起的信号强度变化。

• 对数正态阴影模型：
  $$P_r(d) = P_r(d_0) - 10n\log_{10}\left(\frac{d}{d_0}\right) + X_\sigma$$

  其中 $X_\sigma$ 是具有均值为0、标准差为 $\sigma$ 的高斯随机变量（单位为dB）。

2. 小尺度衰落（Small-Scale Fading）

小尺度衰落描述信号在短距离或短时间内的快速波动，主要由多径传播引起。

2.1 小尺度衰落的分类

2.1.1 基于时间扩展的分类

• 平坦衰落：当信号带宽小于信道相干带宽时发生
  $$B_s < B_c$$

• 频率选择性衰落：当信号带宽大于信道相干带宽时发生
  $$B_s > B_c$$

2.1.2 基于多普勒扩展的分类

• 快衰落：当符号周期大于信道相干时间时发生
  $$T_s > T_c$$

• 慢衰落：当符号周期小于信道相干时间时发生
  $$T_s < T_c$$

2.2 小尺度衰落的统计模型

2.2.1 瑞利衰落（Rayleigh Fading）

无视距环境中的衰落模型，接收信号包络服从瑞利分布：

$$p(r) = \frac{r}{\sigma^2}e^{-\frac{r^2}{2\sigma^2}}, r \geq 0$$

其中，$\sigma^2$ 是多径分量的均方功率。

2.2.2 莱斯衰落（Rician Fading）

有视距环境中的衰落模型，接收信号包络服从莱斯分布：

$$p(r) = \frac{r}{\sigma^2}e^{-\frac{r^2+A^2}{2\sigma^2}}I_0\left(\frac{Ar}{\sigma^2}\right), r \geq 0, A \geq 0$$

其中：

• $A$ 表示视距路径分量的幅度
• $I_0(\cdot)$ 是零阶第一类修正贝塞尔函数
• $K = \frac{A^2}{2\sigma^2}$ 是莱斯因子，表示视距分量与散射分量功率比

2.3 多径时延扩展参数

• 均方根时延扩展（RMS Delay Spread）：
  $$\sigma_\tau = \sqrt{\overline{\tau^2} - (\overline{\tau})^2}$$

  其中：

  • $\overline{\tau} = \frac{\sum_i P(\tau_i)\tau_i}{\sum_i P(\tau_i)}$ 是平均时延
  • $\overline{\tau^2} = \frac{\sum_i P(\tau_i)\tau_i^2}{\sum_i P(\tau_i)}$ 是二阶矩
  • $P(\tau_i)$ 是时延为 $\tau_i$ 的路径功率

• 相干带宽（Coherence Bandwidth）：
  $$B_c \approx \frac{1}{5\sigma_\tau}$$

3. 多普勒频移和频率扩展

由于发射机、接收机或散射体的相对运动引起的频率偏移：

• 多普勒频移：
  $$f_d = \frac{v}{\lambda}\cos\theta = \frac{vf_c}{c}\cos\theta$$

  其中：

  • $v$ 是相对运动速度
  • $\lambda$ 是波长
  • $f_c$ 是载波频率
  • $\theta$ 是入射角
  • $c$ 是光速

• 最大多普勒频移：
  $$f_m = \frac{v}{\lambda} = \frac{vf_c}{c}$$

• 相干时间：
  $$T_c \approx \frac{0.423}{f_m}$$